共備中的激盪/五上最大公因數+三角形邊長關係(一)

日期：2015/9/14(星期一)

地點：教師研習中心

參與夥伴：秀純、惠美、定基、昱任

研討主題：五上2-1最大公因數(教學者 昱任)、五上4-1三角形的邊長關係(教學者 秀純)

這是”命運金包銀”團隊第一次共同備課，四位同好齊聚只為了一件事情，那就是為了教師的專業成長與學生的良好學習，這一次的共備著實讓我們實實在在地享受授業研討那種淋漓盡致的感覺，由於夥伴間的信任，大家總知無不言、言無不盡，那一種彼此學習、辯證與澄清的過程，讓我們深深體會真正學習的存在，說真的再怎樣也無法用言語來形容這一次共備的學習與感動，底下就簡單分享一下這一次研討的內容。

圖1 共備過程的討論與思考

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一、最大公因數

為了這一次的共同備課，從未那麼認真的我竟然完成了[共備前的設想/五上最大公因數]，真的是黑酐子裝醬油，這也成為除了教材外共同研討的重點，底下摘要幾個被我記得並覺得重要的內容。

(一)甚麼是包含與等分問題

在[共備前的設想/五上最大公因數]中針對內容結構分為計算題與情境題，情境提供更依語意結構分為包含型問題與等分型問題(暫時先這樣分類吧)，剛開始大家都不是很清楚兩種問題的差別，甚至認為兩種題目是一樣的。兩種題目因為都可以直接透過最大公因數求解，乍看之下確實會讓人家以為是同一類型的題目，但其實兩種問題在處理上是不同的，而且包含型問題是課本中沒有的，經過一系列的攻防後，大家終於”透徹”領略兩種題目的差異，底下是舉例說明：

• 包含型問題：旺旺水果攤有20顆紅蘋果和16顆綠蘋果，老闆想要將蘋果分別包裝成紅蘋果禮盒和綠蘋果禮盒，兩種禮盒的水果數要一樣多，若要剛好將這兩種水果都裝完，請問這個禮盒最多可以裝幾顆蘋果?
• 等分型問題：旺旺水果攤有20顆紅蘋果和16顆綠蘋果，老闆想要將其裝成蘋果禮盒，每盒禮盒紅蘋果的數目要一樣多，綠蘋果的數目也要一樣多，如果全部的蘋果都全，請問老闆最多可以裝幾盒?

(二)表徵可以輔助解題

內容結構看來是底定了，但是在因數倍數的學習過程中，學生常見的困難不是因數與倍數之間的混淆，就是在解題時搞不清楚是最大公因數或最小公倍數，當然多重表徵是幫助數學理解的重要策略，可以用來澄清因數與倍數之間的意義的差異，表徵也可以當作數學解題的輔助工具，讓孩子看到策略上的差異性，底下則是秀純提供的一個例子，用來幫助學生分別處理包含型與等分型問題，這方法對大家都是很大的收穫。

圖2 圖像表徵協助解題舉例

(三)建模怎麼做?

這個對話起始於究竟是用定義或是用情境帶出課題問題的研討，課本上是用定義的方式帶入最大公因數，再進入算法應用的階段，這裡我們另一種處理方式是以情境問題帶入，透過真實世界與數學世界的連結，讓學生藉由討論的方式洞察數學作為解釋情境的功力，再逐步經由垂直數學化抽象算則或定義的意涵。

 二、三角形的邊長關係 

接著是另外一節的共備，秀純超用心預備了學習單提供參與夥伴共同討論，剛開始同樣是請秀純先將他初步的想法與大夥兒分享，大家有問題也都可以隨時發問，在這節中教學者試圖使用幾何扣條(是個好工具)，透過分組討論的方式，讓孩子藉由具象化的方式了解三角形任意兩邊和會大於第三邊。

圖3 三角形邊長關係學習單設計

(一)反例引入或正例引入

教材中主要以正例的方法帶進來，但我們認為這樣的方式像食譜式的方法在引導小孩子，比較沒有辦法讓孩子有充分思考的機會，所以在這節試圖從反例的方式進入，討論後我們打算採用給每一組的孩子不同的三條幾何扣條(沒有辦法組成三角形的情況)，請各組孩子幫忙老師將三條幾何扣條看成三角形的三邊將其組合成三角形，孩子在操作後一定會反應無法組成三角形，教師提問:”明明就是給你們三個邊，為什麼無法組成三角形?”，在說出原因後再繼而進一步引導討論解決方法。

(二)直觀或量化的處理

其實在這裡就是涉及我們是要用幾何的想法或測量的想法來處理這個問題，因為大夥兒後來覺得第一個這是屬於幾何的性質，再加上不要增加學生的認知負荷，所以決定將學習單中測量活動，採用操作直觀的方式來討論三角形的邊長關係。

圖4 無法組成三角形邊長的兩種組合方式

(三)邊長關係的精緻化

這裡我們討論到是否要從”任意兩邊長大於第三邊”過渡到”較短的兩邊長大於第三邊”，這裡就會涉略到孩子在條件縮減上的邏輯過程，大家就在思考如何幫助學生跨越這個鴻溝，所以我們就計畫在學生了解任意兩邊大於第三邊後提問”檢查三邊長是否能組合成三角形，一定要檢查三次嗎?”，讓學生再討論邊長關係檢驗的充分條件為何的問題。

這是一場既迷人又令人陶醉的共備，因為夥伴間彼此的信任與大夥兒哈拉的本事，使得討論過度激烈，時間真的不夠我們揮霍，所以大夥兒決定星期四再戰，再見分曉囉!