本文由彰化縣二林高中附設國中部蔡慶鴻老師於數學教學活動與遊戲創作社群分享，翻譯自部落格 Slam Dunk Math 的文章 The Co-ordinate Grid – Multiple Number Lines – A Lesson Study。本文字數多，僅翻譯前言及活動操作過程，若有謬誤，請不吝賜教。
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學課研究 (LESSON STUDY)
所有與數線有關的優秀素材都在 #MTBoS，我想這可能對於我的班在這年 (2015-16) 的第一個學期學習十字交乘法會是個有趣的想法。原本課程設計的操作時間是一節 75 分鐘的課，我恰好這學期在兩個 10 年級的班級再次操作這個課程，因為太投入以致使用了二節課，這會比原本設計的一節課時間更容易管理也比較不匆促。
這是幾前年我在安大略省巴里 (Barrie Ontario) 的數學教師夏季營隊中學到的，原本的創意發想歸功於羅賓麥卡菲 (Robin McAteer)。我特地邀請羅賓參加這個學課研究 (她是我們董事會的指導教練，而我是超級大粉絲)，並且我想她會給予一些深刻的見解 (她總是會給)。另外，一如既往，羅賓匯整我們的報告，並且總結概述課後回饋單 (exit cards)。這篇文章夠深度都是要感謝她。
這堂特別的課有些不同，讓我告訴你為什麼。通常我們會用一星期規畫課程，並在隔週操作執行及提出報告。這堂特別的課在 2016 年 1 月 7 日的下午規畫設計，然後在隔天 2016 年 1 月 8 日的早上執行。理由是因為我們有個特地從洛杉磯來參與我們二天的客座，朱迪斯基妮 (Judith Keeney)，她在 2014 年於奧克拉荷馬州舉辦的推特數學營 (TwitterMathCamp) 發表授業研究的時候，我遇到了她 (並與她一拍即合)。她很有興趣對於我們學校的這次學課研究參與觀察及分享。
我們兩個在 2015 年於波士頓的美國數學教師協會 (NCTM) 討論過，現在成真了。我非常高興她能體驗我們的團隊以及觀察我的教室，並且經歷所有我們在格列高中 (Glebe Collegiate) 想做的事，加上她的見解是非常好的。
這裡有個小小的挑戰就是課程設計必須在第一天結束前就完成，包括教室佈置。話雖如此，我的想法是這課程必須看起來像之前討論的時候的樣子 (呃… 不幸的是我們小組都不覺得他們有這堂課的支配權)。依然有些很酷的事發生。通常我們會討論一整個下午，然後教師發表課程，接下來的一週會消化這些細節並且在他們的教室佈置課堂情境。這次我們雖然只用半個下午規畫，然後我們都去我的教室佈置實體的學習環境。好酷的事發生了 – 不知道怎麼描述 – 因為我們只是削減了一些我們剛開始設計的一些小玩笑、大量的笑點和一些東西。這和我們一起設計這個課堂有關係，而不是與我們一起規畫課程有關係。一個真正的團隊 – 難以描述。隔天我們討論了好多像是如何將課程堂佈置合併成我們課程教學模組的一部份。當然六個月後我們也沒完成它 (要花很多 $$$)，然而就擱置一邊。
無論如何還是要感謝羅賓和茱蒂，以及所有第一學期參與這團隊的成員 – 這是特別的經驗。
課程 (THE LESSON)
這是課程的教案。
數線：表徵連結與發展數感的一課
提供所有的觀課者：
- 有照片及姓名的複印件
- 觀察報告表
- 教案
- 隨機分組
| 時間 | 教師活動 | 觀察／改進 |
|---|---|---|
| 學生到達前 | ．安排分組座位 ．三分之二隨機分組 ．白板、彩色標籤、數線紙、每組的數線前掛、衣夾 | |
| 學生到達 8:50-9:05 | 介紹數線活動 (第一天) ．一起放置 10, -10 和 0 ．隨機給每一組的二到三個學生三個數字， 讓他們放在數線上 (介於 10 與 -10)，小數、分數與整數。 ．以曬衣繩從頭到尾穿越整個教室 ．討論配置還有比例 | |
| 9:10-9:45 | 小組數學 (第一天) ．給小組方程式及與方程式有關的配色 ．二次方程式及線性方程式 ．給小組標記的表格 (8種顏色) 和一個非固定的標記 ．給小組一個從 10 到 -10 之間的數字。 「我將給你一個 y 數線 – 有你要計算的 x 值」 ．在白板上對於每一個給你的 x 值去計算或找到彩色 方程式的 y 值 – 在白板上指出來以便我確認是否正確。 ．每次當你完成而且 Overwijk 老師已確認， 在你的數線上以適當的顏色標記出來。 ．如果超出範圍的值就沒有包含在數線裡。 ．至少要做三個 ．每次小組的 x值的數線完成，就重覆代入不同的 x 值 直到時間到 (7組 – 希望每組 3 個) | |
| 9:50-10:00 | 用 21 條數線產生方程式的圖案 (第2天 – 第二次通過) ．學生帶他們的數線且垂直的放在 x 值上 – 這會建立 y= 表示式的圖 ．從這些方程式和連結的圖表看看這些表示式的特徵 | |
| 10:00 | 回家作業 (Home Base) ．回饋單 |
讓我再提供一些細節
這個實質數線的主要目的是要讓學生思考不同數字在數線上的位置。
每次我們放置一個數字，學生就能被允許移動他們認為放錯的數字，並解釋為什麼要移動那個數字。有很多關於數字之間間距的優質討論。
接著學生會拿到要計算的八題方程式，每題都與一種顏色及一條 10 到 -10 之間的數線有關，最後還有一數 x。他們要計算八題方程式的 y 值，並且得到 O 老師的驗証之後再做任何的修正。這個都在白板上垂直的完成。
這裡有這八題方程式以及相關的顏色
這裡是有幾組用被給定的 x 計算這八題方程式的值。我們最近一學期花了些時間讓這些數線湊在一起 (21 條都是介於 -10 到 10 之間)。
每次學生用給定的 x 值得到 y 值之後，如果介於 -10 到 10 之間，他們會在數線上標記適當的色點。這堂課結束的時候會產出 21 條數線。
隔天的課剛開始的時候，我先問是否有人可以告訴我昨天做了些什麼
學生說「我們在數線上描點」
我說「這些數字來自哪裡」
學生說「我們有八題方程式及 x 值，我們根據方程式的顏色將 y 值描在數線上」
我說「是的，很好。如果我們從 -10 到 10 放置這些點，將會往垂直或水平的發展？」
長時間的沈默。
學生說「將會往垂直的發展，因為這些點是代表你給我們的 x 值所算出來的 y 值，y 值與上下有關」
然後你了解了。所以有些學生幫忙我慢慢的放置 (記錄) 這 21 條數線，看起來就像這樣
儘管我在白板上事先幫他們檢查，有些點還在錯誤的位置。他們發生錯誤的原因是把有些點的正值當做負值，反之亦然。我要說的是當我們把這些線放在一起的時候會聽到一些評論像是「噢！我們獲得了這些方程式的圖形」，我想我甚至聽到「天啊！」
這是我連接兩個班級不同的彩色點所看起來的樣子
然後我要求學生找看看這八題方程式有沒有發現什麼特徵。一旦他們完成之後可以去看那個圖並且確認他們的答案。
這個是某些組對於其中一種線性範例的示範操作
這是某些組對於二次方程式的示範操作
回饋單 (THE EXIT CARD)
活動結束後，我要求學生填寫的回饋單長得像這樣
以下略。欲知回饋單問題及課程回饋報告請自行參閱原文。