數學的分數計算迷思概念

因緣際會和譚甯君老師對話，她是國北師的退休教授，曾任國小教科書編輯。
談天中，我提到國中生的數學成績差，尤其是末段的學生中，有一大部份，看到分數計算就放棄跳過，負數計算也學不好，造成後續的學習像骨牌一樣倒掉。於是開始了熱烈的討論，白板上畫了這些內容：

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首先，譚老師提到 6÷2(1+2) 這個網路上流傳的問題，在於大家一知半解，只有常數和未知數之間的乘法才可以省略乘號，例如 2×X = 2X，但是常數和常數的乘法不能省略乘號，例如 2×2 ≠ 22
所以 6÷2(1+2) 應該寫成 6÷2×(1+2)，這個和 6÷2(a+b) 是不同的。
如果是後者，2 就應該先乘 a+b，若是前者，應由左算到右。

再來是 $2\frac{1}{2}\times 3$ 的計算，很多老師就會寫成 $\frac{5}{2}\times 3$ ，又為了避免學生將 3 × 2，所以又改成 $\frac{5}{2}\times \frac{3}{1}$ ，這樣是不好的做法，如果改成圖解就一目了然。

再舉 $2\frac{1}{2}\times 3\frac{1}{3}$ 如果用圖解法，用長方形面積看成 $(2+\frac{1}{2})\times (3+\frac{1}{3})$ 用分配律的方式，也會比較容易思考。

可惜是國中直到二年級的乘法公式單元才教分配律，所以學生事前的觀念不清，形成數學迷思概念很可惜。

設計過的題目像是 $\frac{71}{7}\times \frac{29}{2}$ ，如果用分配律的圖形思考，會有很簡潔的結果。

除法也是，例如 $28\frac{1}{3} \div \frac{2}{3}$ ，可以想成 28 先分看看有幾個 $\frac{2}{3}$ ，三個 $\frac{2}{3}$ 等於 2，所以 28 可以分為 14 × 3 個 $\frac{2}{3}$ ，至於 $\frac{1}{3}$ 分成幾個 $\frac{2}{3}$ ，可以用圖解，就是半個，所以答案是 52 又二分之一。