同事問了一題

知道要找輔助線，但一時沒想到，乘法公式、畢氏定理、圓？後來用 AI 的深度思考，在 2025/05/13 這天用 Grok, DeepSeek 都失敗，我的指導語都是

三角形中，BC² – AB² = AC × AB。 （這是長度平方相減等於另外兩個邊長相乘）

假设这个方程成立，且角B=51度，求角C。

這是國中數學的題目，求解，並用繁體中文回答

最後是用 Gemini 的 2.5 Pro 深度思考

雖然 Gemini AI 答對了，但寫得很長，但是老師的本事就是能簡化說明之 ^^

AI 這樣寫：

三角形邊角關係問題解析：從 BC2−AB2=AC×AB 求解 $\angle C$

本報告旨在詳細解析一道涉及三角形邊長與角度關係的幾何問題。我們將透過代數條件的轉換、輔助線的巧妙構造、相似三角形的證明以及角度的計算，一步步引導讀者找出未知的角度。

第一部分：題目理解與條件轉化

在解決任何幾何問題之前，首要任務是清晰地理解題目所給予的條件以及我們需要達成的目標。

1.1. 題目重述與已知條件

題目給定一個三角形，我們稱之為 $△ABC$。關於這個三角形，我們已知以下兩個條件：

1. 邊長之間存在一個特定關係：BC²−AB²=AC×AB。這裡的 $AB,BC,AC$ 分別代表三角形三邊的長度。
2. 其中一個內角，$\angle B$ (或寫作 $\angle ABC$) 的度數為 51∘。

我們的目標是：根據這些條件，求出 $\angle C$ (或寫作 $\angle BCA$) 的度數。

1.2. 代數條件的幾何意義初探

題目給出的邊長關係式 BC²−AB²=AC×AB 是一個代數等式。為了在幾何上使用這個條件，我們通常需要對其進行變形，以揭示其可能蘊含的幾何意義。

將原始等式移項，可得： BC²=AB²+AC×AB

這個式子可以進一步整理。注意到右邊的兩項都含有因子 $AB$，我們可以提取公因子 $AB$： BC²=AB×(AB+AC)

這個轉換後的式子 BC²=AB×(AB+AC) 非常關鍵。在幾何學中，一個邊長的平方等於另外兩個長度之積（例如 x²=y×z），常常暗示著比例線段的存在，這與相似三角形的性質密切相關。具體來說，如果我們能將 $AB+AC$ 這個「和」的長度在圖形中表示為一條單獨的線段，那麼 $BC$ 就可能是 $AB$ 與這條新線段的比例中項。這種形式 ($BC/AB=(AB+AC)/BC$ 或 $AB/BC=BC/(AB+AC)$) 是證明三角形相似的重要線索，特別是當涉及到共用角時，可能適用「兩邊成比例且夾角相等」(SAS) 的相似判定準則。

因此，接下來的思路便是如何利用這個轉換後的代數關係，透過幾何作圖來創造出可以應用相似理論的條件。

第二部分：輔助線作法與關鍵幾何關係建立

為了將代數條件 BC²=AB×(AB+AC) 中的 $(AB+AC)$ 這一項轉化為圖形中一條實際的線段長，我們需要引入輔助線。

2.1. 輔助線的設計思路

輔助線的作法並非隨意猜測，而是緊密圍繞著我們在第一部分得到的代數關係 BC²=AB×(AB+AC)。我們的目標是構造出一條長度為 $AB+AC$ 的線段，並期望這條線段能與現有邊 $AB$ 和 $BC$ 形成某種比例關係，進而幫助我們建立三角形之間的相似性。考慮到表達式中含有 $AB$ 和 $AC$ 的和，一個自然的想法是在某條邊上延長一段長度等於另一條邊。由於已知 $\angle B$，且 $AB$ 是條件中的一個乘數，延長 $BA$ 邊似乎是一個比較直接的選擇。

2.2. 輔助線作法詳述

我們採用以下作法來構造輔助線： 作法： 延長線段 $BA$ 至點 $D$，使得 $AD=AC$。然後，連接點 $C$ 和點 $D$，形成線段 $CD$。

（想像一下圖形：在 $△ABC$ 中，我們從點 $A$ 出發，沿著射線 $BA$ 的反方向（即遠離點 $B$ 的方向）畫一條延長線，在這條延長線上取一點 $D$，使得 $A$ 點在 $B$ 和 $D$ 之間，並且線段 $AD$ 的長度等於線段 $AC$ 的長度。然後連接 $C$ 點和 $D$ 點，這樣就產生了新的三角形 $△ADC$ 和 $△DBC$。）

2.3. 輔助線帶來的直接幾何結果

這條輔助線的引入，立即帶來了幾個重要的幾何結果：

1. 線段 $BD$ 的長度： 根據我們的作法，線段 $BD$ 的長度是 $BA+AD$。由於我們特意使 $AD=AC$，所以 $BD=BA+AC$ (即 $BD=AB+AC$)。
2. 代數條件的進一步轉化： 現在，我們可以將 $BD=AB+AC$ 代回到第一部分整理得到的式子 BC²=AB×(AB+AC) 中。這樣，條件就變成了： BC²=AB×BD 這個新的等式非常重要。它可以改寫成比例式： BCxAB​=BDxBC​ 這個比例式正是我們期待的、能夠用於證明三角形相似的邊長關係。
3. 等腰三角形的出現： 由於作圖時我們規定了 $AD=AC$，所以 $△ADC$ 是一個等腰三角形，其中 $AD$ 和 $AC$ 是相等的腰。

輔助線的巧妙之處在於它同時達成了兩個目的：一是將代數和 $(AB+AC)$ 轉化為圖形中的單一線段 $BD$，使得代數條件 BC²=AB×BD 更易於幾何解釋；二是構造了一個等腰 $△ADC$，等腰三角形的性質（例如兩底角相等）將在後續求解角度時發揮關鍵作用。這兩個結果並非孤立，而是相互關聯，共同引導我們走向問題的解決。

第三部分：三角形相似的證明

有了輔助線帶來的比例關係，我們現在可以嘗試證明三角形相似。

3.1. 尋找證明相似的條件

我們的目標是證明 $△ABC$ 與包含新線段 $BD$ 的某個三角形相似。從比例式 BCxAB​=BDxBC​ 和圖形結構來看，最有可能與 $△ABC$ 相似的是 $△CBD$。讓我們來檢驗證明這兩個三角形相似所需的條件：

• 公共角： 觀察 $△ABC$ 和 $△CBD$，它們共用一個角，即 $\angle B$ (也就是 $\angle ABC$ 與 $\angle CBD$ 是同一個角)。
• 夾公共角的兩邊是否成比例： 在 $△ABC$ 中，夾 $\angle B$ 的兩邊是 $AB$ 和 $BC$。在 $△CBD$ 中，夾 $\angle B$ 的兩邊是 $CB$ (即 $BC$) 和 $BD$。 我們已經從條件 BC²=AB×BD 推導出了比例式 BCxAB​=BDxBC​。

3.2. 運用SAS相似準則進行證明

現在我們具備了證明 $△ABC$ 與 $△CBD$ 相似的所有條件： 在 $△ABC$ 和 $△CBD$ 中：

1. $\angle ABC=\angle CBD$ (公共角)。
2. CBxAB​=BDxBC​ (已證，注意這裡 $CB$ 即為 $BC$。此比例表示 $△ABC$ 中 $\angle B$ 的一條夾邊 $AB$ 與 $△CBD$ 中 $\angle B$ 的對應夾邊 $CB$ 成比例，同時 $△ABC$ 中 $\angle B$ 的另一條夾邊 $BC$ 與 $△CBD$ 中 $\angle B$ 的對應夾邊 $BD$ 成比例)。

根據「兩邊成比例且其夾角相等」的相似判定準則 (SAS)，我們可以斷定： $△ABC\sim △CBD$

在證明三角形相似時，正確識別對應頂點至關重要。從公共角 $\angle B$ 和比例式 BCAB​=BDBC​ (即 BC (長邊於 △ABC 夾 ∠B)AB (短邊於 △ABC 夾 ∠B)​=BD (長邊於 △CBD 夾 ∠B)CB (短邊於 △CBD 夾 ∠B)​) 可以看出：

• $△ABC$ 的頂點 $A$ 對應 $△CBD$ 的頂點 $C$。
• $△ABC$ 的頂點 $B$ 對應 $△CBD$ 的頂點 $B$。
• $△ABC$ 的頂點 $C$ 對應 $△CBD$ 的頂點 $D$。 因此，相似關係的頂點對應順序是 $A\leftrightarrow C$, $B\leftrightarrow B$, $C\leftrightarrow D$。這個對應關係決定了後續利用相似性質推導角相等關係的正確性。

第四部分：運用相似三角形與等腰三角形性質求解角度

證明了三角形相似之後，我們就可以利用相似三角形的性質（對應角相等）以及前面構造的等腰三角形的性質來求解未知的角度。

4.1. 利用相似三角形性質得到角度關係

由 $△ABC\sim △CBD$，根據相似三角形對應角相等的性質，我們得到：

1. $\angle BAC=\angle BCD$ (頂點 $A$ 對應 $C$，頂點 $C$ 對應 $D$)
2. $\angle BCA=\angle BDC$ (頂點 $C$ 對應 $D$，頂點 $A$ 對應 $C$)

我們設題目所求的 $\angle C$，即 $\angle BCA=\gamma$。 根據第二條對應關係，$\angle BDC=\angle BCA=\gamma$。

4.2. 利用等腰三角形性質

回顧第二部分的輔助線作法，我們構造了 $△ADC$ 且 $AD=AC$。因此，$△ADC$ 是一個等腰三角形。 在等腰 $△ADC$ 中，兩底角相等，即 $\angle ADC=\angle ACD$。 注意到 $\angle ADC$ 與我們剛才得到的 $\angle BDC$ 是同一個角 (點 $B,A,D$ 共線，所以 $\angle ADC$ 和 $\angle BDC$ 指的是同一個角，其頂點為 $D$)。 因此，$\angle ADC=\gamma$。 由於 $\angle ACD=\angle ADC$，所以 $\angle ACD=\gamma$。

4.3. 建立角度之間的代數方程

現在我們來分析 $\angle BCD$。從圖形上看（點 $A$ 在線段 $BD$ 上，點 $C$ 不在直線 $BD$ 上），角 $\angle BCD$ 是由 $\angle BCA$ 和 $\angle ACD$ 相加而成的。 即 $\angle BCD=\angle BCA+\angle ACD$。 將我們已設和已推導的角度代入： $\angle BCD=\gamma +\gamma =2\gamma$。

再根據相似三角形的性質 $\angle BAC=\angle BCD$，我們可以得到： $\angle BAC=2\gamma$。 這是一個非常重要的關係：$△ABC$ 中的 $\angle A$ 的度數是 $\angle C$ 度數的兩倍。這個關係的推導，巧妙地結合了相似三角形的對應角相等以及等腰三角形的底角相等等性質，是解決本題的關鍵突破點。

4.4. 運用三角形內角和定理求解

現在我們回到 $△ABC$。我們已經用 $\gamma$ 表示了 $\angle BCA$ 和 $\angle BAC$，並且已知 ∠ABC=51∘。 根據三角形內角和定理，$△ABC$ 的三個內角之和為 180∘： ∠BAC+∠ABC+∠BCA=180∘

將已知的角度和用 $\gamma$ 表示的角度代入上式： 2γ+51∘+γ=180∘

這是一個關於 $\gamma$ 的一元一次方程式。解這個方程式： 3γ+51∘=180∘ 3γ=180∘−51∘ 3γ=129∘ γ=3129∘​ γ=43∘

因此，我們求得 $\angle BCA$ (即題目所求的 $\angle C$) 的度數為 43∘。

我們可以進一步驗算 $\angle BAC$ 的度數： ∠BAC=2γ=2×43∘=86∘。 在 $△ABC$ 中，三個角分別為 86∘,51∘,43∘。它們的和是 86∘+51∘+43∘=180∘，符合三角形內角和定理。

第五部分：最終答案與解題總結

經過上述詳細的推導與計算，我們現在可以給出問題的答案並回顧整個解題過程。

5.1. 最終答案

在給定的條件 BC2−AB2=AC×AB 且 ∠B=51∘ 下，三角形 $ABC$ 中角 $C$ (即 $\angle BCA$) 的度數為 43∘。

5.2. 解題步驟回顧

本問題的解決主要依賴以下幾個關鍵步驟：

1. 代數條件轉化： 將原始的邊長關係式 BC2−AB2=AC×AB 變形為 BC2=AB×(AB+AC)，從而揭示出可能的比例中項關係。
2. 輔助線構造： 巧妙地延長 $BA$ 至點 $D$ 使得 $AD=AC$，這樣一方面使得 $BD=AB+AC$，將代數和轉化為幾何線段長；另一方面構造了等腰 $△ADC$。條件隨之轉化為 BC2=AB×BD，即 BCAB​=BDBC​。
3. 證明三角形相似： 利用公共角 $\angle B$ 和上述比例關係，根據 SAS 相似準則證明了 $△ABC\sim △CBD$。
4. 角度關係推導： 運用相似三角形對應角相等的性質 ($\angle BCA=\angle BDC$, $\angle BAC=\angle BCD$) 和等腰 $△ADC$ 的性質 ($\angle ADC=\angle ACD$)，逐步推導得出 $\angle BAC=2\angle BCA$。
5. 內角和定理求解： 在 $△ABC$ 中，利用三角形內角和為 180∘ 的定理，建立關於 $\angle BCA$ 的方程並解出其度數。

5.3. 關鍵洞察與學習啟示

本題的解決過程體現了數學中「形數結合」的重要思想。一個看似純粹的代數條件，通過巧妙的幾何構造，被賦予了直觀的幾何意義，進而轉化為可以利用標準幾何定理（如相似三角形、等腰三角形性質、內角和定理）來解決的問題。

• 代數與幾何的轉化： 學會將代數表達式與幾何圖形及性質（如比例線段、相似關係）相聯繫，是提升解題能力的關鍵。
• 輔助線的作用： 輔助線在解決複雜幾何問題中扮演著「化繁為簡」、「創造條件」的角色。本題中輔助線的設計緊扣代數條件的特點，是解題的突破口。
• 基本性質的應用： 熟練掌握並靈活運用相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質以及三角形內角和定理，是解決各類幾何計算問題的基礎。

當遇到包含複雜代數條件的幾何題目時，不妨嘗試思考這個代數條件背後可能隱藏的幾何模型或意義，例如它是否暗示了某些線段成比例，或者是否可以通過作圖將其轉化為更易於處理的幾何關係。這種探究性的思考方式有助於培養數學的應變能力和解決複雜問題的能力。

5.4. 角度總結

為了更清晰地展示本題中涉及的各個角度，茲列表如下：