因式分解常見錯誤

八上數學的因式分解單元，教了很多次，以前教得理所當然，這次發現了很多學生計算錯誤的思考方式，在此留下記錄，以後還可以提醒下一屆的學生避免犯同樣的錯誤。
首先是 "提公因式" 方法，在教學的時候，學生的疑惑有:

ax+ay=a(x+y) 為什麼兩個 a 提出去，只剩一個? (分配律的反運算概念不清楚)
-ax+ay=-a(x-y) 為什麼括號裡面要變號?
x(2x+1)-x(x+2) = x[2x+1-x+2] 提出 x 之後, 剩下來的式子沒有加括號, 也就忘了變號
(a+1)x+a+1 = (a+1)(x+1) 有些學生看不出後兩項的 a+1 是同一組, 也會以為後項的 a 提出來之後就空了, (a+1)x+(a+1) 變成 (a+1)(x)
$(x-4)(x+3)^2-(x-4)^2(x+3)=(x-4)(x+3)[(x-4)-(x+3)]$ 這是錯誤的結果, 中括號裡應該是 [(x+3)-(x-4)], 有學生以為 (x-4) 在 (x+3) 之前, 所以就一直是這樣. 事實上是前項剩 (x+3), 後項剩 (x-4), 位置不能對調.

接下來是 "乘法公式因式分解" 的錯誤計算:

[@more@]

為了展現平方差的形式, $x^2-1 = x^2-1^2$ 學生會疑惑為什麼最後那個 1 會多出 2 次方.
解釋 $1 =1^2$ 是相同的值後, 學生可能會發生另一個錯誤:
$x^2-9=x^2-9^2$ 這題應該是將後項的 9 改成 $3^2$ , 而不是直接幫 9 加上 2 次方, 這樣會改變原本式子的結果. 再列舉一些常見的錯誤計算方式:

$4x^2-9$ = (4x+9)(4x-9) 這個就是對平方差公式不瞭解. 平方差公式應該是計算 "兩個平方項" 的 "差", 也有學生將原式改成 $4x^2-9 = 4x^2-3^2$ , 有兩個平方項, 卻計算成
$4x^2-9 = 4x^2-3^2$ = (4x+3)(4x-3) 也就是前項的 $4x^2$ 沒有改成 $2^2x^2=(2x)^2$