需畫輔助線的圓的問題

如圖，圓O的半徑為4， $overline{AB}$ 和 $overline{CD}$ 是圓上兩個不是直徑的弦，且 $overline{AB}$ ⊥ $overline{CD}$ 交於P點， $overline{OP}$ ＝2，則 $overline{AB}^2 + overline{CD}^2$ =?

弦心距問題

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此題需畫輔助線，作弦心距，如下圖：

弦心距問題

$left{begin{matrix} (frac{overline{AB}}{2})^2=4^2-b^2 (frac{overline{CD}}{2})^2=4^2-a^2 end{matrix}right.$

$(frac{overline{AB}}{2})^2+ (frac{overline{CD}}{2})^2=32-(a^2+b^2)=32-2^2=28$

$therefore overline{AB}^2+ overline{CD}^2=28times 4=112$

如右圖，過圓O外一點A，分別切圓於B、C兩點，P點為圓周上一點，P到AB、AC的距離分別為4cm、6cm，則P點到BC的距離為何？

[解] 此題和相似形有關。

假設 P 到AB、AC、BC的垂足為 Q、R、S，則連 PB、PC 如圖：

三角形 BQP～CSP 及 BPS～CPR (因為弦切角和圓周角對等弧，再加上直角，為 AA 相似)

可以證明出四邊形BQPS～CSPR，則

切線20131216_3.gif

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