學生問我的題目, 補習班講義內的題目, 一時間沒有立即解出來, 以前曾見過這種題目, 太久沒接觸就生疏了. 所以把解法記錄在這裡, 一題兩解。
Q: 梨子每箱裝 9 個, 餘 4 個. 若每箱裝 11 個, 最後一箱裝不滿 11 個. 問梨子最多有幾個, 最少有幾個?
A：審題, 題目的意思是, 梨子數量固定, 而且用兩種不同的裝法, 用的是同樣多的箱子. 因此假設未知數可以有兩個方向, 一種是假設箱子數量, 一種是假設梨子總數.
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[解1]
假設裝 x 箱
每箱裝 11 個, 少裝一箱後, 梨子的總數為 11(x-1) → 裝太少
原本梨子的總數為 9x+4 → 裝剛好
每箱裝 11 個, 每箱都裝滿的情況下, 梨子的總數為 11x → 裝太多
所以可以列不等式如下:
11(x-1) < 9x + 4 < 11x
11x – 11 < 9x + 4 < 11x
展開之後, 分兩部份解題:
(1) 11x – 11 < 9x + 4, 移項整理得 2x < 15, 所以 x < 7.5
(2) 9x + 4 < 11x, 移項整理得 4 < 2x, 所以 2 < x
合併得 2 < x < 7.5, 所以梨子的數量介於 3 箱到 7 箱之間.
最少 3 箱, 梨子數 9×3+4 = 31 (個)
最多 7 箱, 梨子數 9×7+4 = 67 (個)
[解2]
假設梨子總數 x 顆,
(x-4)÷9 (算出每箱 9 顆的情形下有幾箱)
(x-4)÷9×11 (代表每箱 11 顆裝滿的情況下有幾顆梨子)
(x-4)÷9×11 – x (因為最後一箱本來裝不滿 11 個, 但是多裝了一些, 所以扣掉梨子原本的總數後, 多裝的那些梨子數量在 0 和 11 之間)
所以可以列出下式:
可列出不等式：0 < (x-4)÷9×11 – x < 11
計算可得 22 < x < 71.5
但是最少的顆數並不是 23, 因為還要符合題意, 每箱裝 9 個餘 4 個, 因此
最少 9×3+4 = 27+4 = 31 (個)
最多 9×7+4 = 63+4 = 67 (個)