研習時
觀察GSP2作圖軟體證明三角形的內角和等於180度
領悟：一直線圍成的封閉性三角形？平角180度的辯正就像圓週率的符號，代碼而已
回來補查資料
[@more@]
http://www.33wg.com/33wg/simple/index.php?t326876.html
其實一個三角形的內角和並不是完完整整為180度的,
前人Edmund Husserl發現了三角形的內角和並不是180度,
不過站於與直線成一理論而言只好把三角形的內角和定為180度…
所以你畫一個三角形,把內角加了亦不等於180度啊~
有興趣的就努力上大學攻讀<<幾何學>>啦~
有關的數學發展史吧…
我們在中學所學的幾何學都是歐氏幾何(Euclidean Geometry), 一切都是建立於古希臘數學家歐幾里德(Euclid)所定下的五條幾何公理. 而三角形的內角是180正是由這五條公理中推論出來的.
因此三角形的內角不等於180, 是不會出現於歐氏幾何的…
而這五條公理中又以第五公理最令人疑惑, 自歐幾里德之後, 有很多數學家都嘗試由其餘四條公理中推出第五公理, 但都不成功…
直到十九世紀一位俄國數學家羅巴切夫斯基在嘗試用反證法證明第五公理時, 他以另一條和第五公理相反的命題去取代第五公理, 希望可以得到矛盾. 結果他找不到矛盾, 但卻並打開了幾何學的一道大門, 開始了非歐幾何(non-Euclidean geometry).
及後, 德國數學家黎曼, 更進一步研究非歐幾何, 並創立了黎曼幾何(Riemannian Geometry), 亦成為日後愛因斯坦在研究廣義相對論(General Relativity)時, 建立了最重要的數學工具.
在普通平面的證明：
(附件)作BC//DE
Since So
但是，如果那是一個彎曲的平面呢？
例如在地球上，（假設地球是圓的）
取北極和赤道的四分之一(那條線)作一個三角形
這三角形的三隻角便都是直角了(sum=270)
結論：三角形內角和180在正常的平面是對的，但在扭曲的二維空間便雖要斟酌了。
引用WongKwunKiu於2005-03-06 05:19發表的:
對不起，請問可否解釋一下什麼是第五公理？
…….
歐幾里德的頭四條公理(公設)如下:
1.過相異兩點，能作且只能作一直線（直線公理）。
2.線段(有限直線)可以任意地延長。
3.以任一點為圓心、任意長為半徑，可作一圓(圓公理)。
4.凡是直角都相等(角公理)。
第五公理(公設)又叫做平行公理 (the parallel axiom), 它有兩種等價的表達方式:
5a.在一平面內，過直線外一點，可作且只可作一直線跟此直線平行。
5b.兩直線被第三條直線所截，如果同側兩內角和小於兩個直角， 則兩直線作延長時在同側相交。
其中歐幾里德所用的是5b, 而5a則估計是更早期畢達哥拉斯派所採用的. 其實在你上面證明三角形內角是180時, 所用到的便正正是第五公設.
補充一句, 歐氏幾何便是我們平常用到的平面幾何了. 另外, 苖卡兒引入了坐標系統, 用坐標來研究幾何, 也是幾何學發展的一大革新. (坐標幾何=coordinate geometry)
至於要研究曲面的幾何, 就不得不提高斯(Guass), 他提出了曲面上的曲率概念, 討論幾何性質的內薀性 (intrinsic), 即是不依賴於曲面所存在的外在空間, 而直接去研究曲面本身. 具體的說法(例子)是, 我們不用到外太空觀察便可以知道地球是曲的 (這就正正是你所舉例子).
而黎曼(Riemann), 他是高斯的學生, 他把高斯對曲面的研究推廣到高維的情況, 發展了黎曼幾何.
http://humanum.arts.cuhk.edu.hk/~hkshp/humanities/ph114-20.txt
1891年，胡塞爾在史敦夫的指導下，完成教授論文(Habilitationsschrift)：《算術哲學》
(Philosophy of Arithmetic)。在這篇論文中，胡塞爾站在心理主義的立場，視人類理解數目的心理能力為算術成立的必要條件。《算術哲學》出版後，受到著名的數學哲學家Gottlob Frege的猛烈批評，胡塞爾因而逐漸放棄心理主義的立場，開始醞釀所謂重建邏輯與數學的超越性與客觀性的現象學出發點。胡塞爾思
想發展的第一個重要轉折點的標誌是《邏輯研究》(Logical Investigations)的完成，此書的第一、二卷分別在1900及1901年出版。
胡塞爾思想發展的第二個重要轉折點是在「哥廷根時代」(1901-1916)。
1901年，胡塞爾受聘到哥廷根大學(University of Gottingen)擔任正教授的職位，得到了與當時一流的數學家、邏輯家切磋的機會，著名學者如謝勒(Max Scheler, 1874-1928)、芬特(Pfander)等，都是哥廷根時代胡塞爾的學生。在這段時間，胡塞爾寫成了《現象學的觀念》(The Idea of Phenomenology, 1907)
、《純粹現象學通論》(Ideas: General Introduction to Pure Phenomenology, 1913)等重要著作。據倪梁康，《現象學的觀念》更標誌著胡塞爾思想發展的第二個重要轉折點，在此著作中，胡塞爾在現象學的還原的道路上已基本完成了向
超越現象學(Transcendental Phenomenology)的突破。[2]
1916年，胡塞爾應邀到費堡大學(University of Freiburg)擔任正教授的職位，直到1928年止，這是胡塞爾超越現象學的發展與趨向成熟的時期。在此期間，值得注意的是，1922年，海德格(Martin Heidegger, 1889-1976)成為胡塞爾的助手，而他們的接觸，是在費堡時期的事，這時海德格已拿到博士學位，在哲
學上已有了一定的型態與成熟性。海德格到馬堡大學(University of Marburg)任教後，由其他人擔任胡塞爾的助教，尤其要提的是芬克(Fink)，他一直追隨胡塞爾直到逝世為止。
1928年，胡塞爾自費堡大學退休，推薦海德格接替他的講座。胡塞爾一直覺得這個鋒芒畢露的年輕學者將會是最有希望發揚他的現象學的人。可是當海德格回到費堡後，郤發現了他們之間在哲學理念上有著極深的歧異，這使胡塞爾受到
很大的打擊。1929年，胡塞爾應邀到巴黎的索邦大學(University of Sorbonne)作一系列演講，日後發展成《笛卡兒式沉思錄》(Cartesian Meditations)一書。1935年，胡塞爾應邀到維也納演講，當時德國納粹黨勢力日益膨漲，風雨飄搖的歐洲令他感到歐洲文化的危殆，這些演講後來發展成《歐洲科學的危機與超越現象學》(The Crisis of European Sciences and Transcendental
Phenomenology)。1937年，胡塞爾得了支氣管炎，終於在1938年逝世。
胡塞爾哲學思想較複雜，由邏輯哲學開始，幾經轉折，最後發展為超越現象學，而他的現象學思想亦似未完全完熟，仍有很多問題須待解決，亦有很多手稿留下還待整理與出版。這裏，筆者只介紹胡塞爾現象學的還原(phenomenological reduction)的思想。
胡塞爾其中一個主要考慮的問題是知識論問題，他這方面跟笛卡兒(Descartes)頗相似。笛卡兒欲尋找知識的基礎，他以「懷疑法」懷疑我們對一切事物的知識，最後發覺「那懷疑一切事物的懷疑者」不能再被懷疑，它具有明證性(evidence)，我們對它有「明白清楚的感知」(clear and distinct perception)。不過，胡塞爾不說「懷疑法」，他說「現象學的還原」或「現象
學的存而不論」。
首先，所謂「現象學的存而不論」，是說為要令現象學成為一種嚴格的學問，我們不能接納任何未經批判的設定(presupposition)到現象學系統內，因此哲學家或現象學家不能如自然科學家一般，假定了事物的客觀存在性與外在性。這
個事物的「客觀存在性」與「外在性」是有疑問的，是無法被證明的，它沒有明證性(evidence)。凡沒有明證性的事物或設定，胡塞爾都「存而不論」、懸置(epoche)或放入括號(bracketed)不予判斷。
其次是「本質還原」(eidetic reduction)或「本質的存而不論」，意思是說除了將沒有明證性的事物懸置外，還要盡力忽略意識流中出現的變動不居的個別事物，而集中全力去把握在變動不居的事物中突現的不變同一的事物的「本質」(eidos, essence)，這裏本質基本上指柏拉圖(Plato)的理型(Idea)或共相
(universal)[3]。胡塞爾認為我們具有一種理解本質的抽象能力，胡塞爾稱為「本質直觀」(ideation or eidetic intuition)。對於此，胡塞爾以「紅」來說明：「關於紅，我有一個或幾個個別直觀，我抓住純粹的內在，我關注現象學的還原。我除去紅此外還含有的、…東西，如我桌子上的一張吸墨紙的紅等等；並且我純粹直觀地完成一般的紅和特殊的(in specie)紅的思想的意義，即從這個紅或那個紅中直觀出的同一的一般之物。」[4]我們可以理解「本質直觀」為一種從不同個別特殊事物把握一般普遍本質的觀念化的抽象作用(ideating abstraction)[5]，所以「本質直觀」亦可譯作ideation，即觀念化作用或觀念化的抽象作用。如以上胡塞爾提到的「紅」的本質，透過對不同個別紅的事物的
知覺，藉著一種抽象化的作用，去除不相關的因素，來把握一般的紅的本質。無論如何，本質直觀是一種具有明證性的認識本質的直觀能力。胡塞爾這方面的思想與柏拉圖很相似。
最後是超越的還原(transcendental reduction)，意即還原到超越的主體性(transcendental subjectivity)，這是通向超越的主體性的方法或通道。當我們採取超越的還原時，我們是要轉變或澈換(transform)我們的觀點，由一個經驗的主體(empirical subject)的觀點轉化到一個超越的主體(transcendental subject)的觀點[6]。經過超越的存而不論後，所剩下的或所揭露的只是「超越地被純粹化了的」(transcendentally purified)經驗的領域與「超越的自我」
(Transcendental Ego)，它揭露了一種「存有的新領域」。[7]為了顯露這個領域，我們只能憑著一種本質直觀或純粹的直覺。在超越的還原中，我們揭露或回歸到本質之根源：超越的自我，並顯露出超越自我意向經驗的能思所思結構(the noetic-noematic structures of intentional experiences)[8]；這裏「能思
」(Noesis)指理性的思想活動，「所思」(Noema)指思想之內容，意思是說：所思的內容(content)或本質(eidos or essence)是由超越的主體所建構的(constitute)。這時現象學不單有知識論的意義，還有存有論的意義(ontological meaning)。
最後，我們要對胡塞爾的現象學還原作一點補充解釋。超越的還原基本是指
一種主體的轉化(transformation)，由經驗的主體轉化到超越的主體，在胡塞爾，這種轉化主要是知識論義的，即一種認知主體的轉化。這裏「超越」(transcendental)具有先驗的意思，即邏輯上是先於經驗，但又能應用於經驗，亦是經驗之基礎。這種超越的主體還有康德(Kant)「智的直覺」(intellectual intuition)的意思[9]，這是無限的智慧，有創造事物、實現事物的性能，它直
覺一物，便創造一物、實現一物。因此，吳汝鈞先生用佛教唯識宗的語言「轉識成智」來說胡塞爾的現象學還原[10]。至於關於胡塞爾「現象」之意思。
《註釋》
[1]參看蔡美麗《胡塞爾》，台北：東大圖書公司，1990，頁1-8。
[2]胡塞爾著、倪梁康譯《現象學的觀念》，譯者的話，上海：上海譯文出版社
，1986，頁2。
[3]吳汝鈞《胡塞爾現象學解析》，台北：台灣商務印書館，2001，頁35。
[4]胡塞爾著《現象學的觀念》，頁49-50。
[5]畢普塞維克著、廖仁義譯《胡賽爾與現象學》，二版，台北：桂冠圖書股份
有限公司，1997，頁96；倪梁康《胡塞爾現象學概念通釋》，北京：生活‧讀書
‧新知三聯書店，1999，頁512。
[6]本文以下會解釋「超越」(transcendental)一詞之意思。
[7]畢普塞維克《胡賽爾與現象學》，頁114，116。
[8]畢普塞維克《胡賽爾與現象學》，頁108；關於「意向經驗」，我們下次將會
較詳細解釋。
[9]康德基本上認為只有上帝才具有智的直覺，胡塞爾則不同，他認為人的超越
的自我亦具有智的直覺。
[10]吳汝鈞《胡塞爾現象學解析》，頁55-60。胡塞爾的現象學還原主要是知識
論義的，唯識宗的轉識成智則具有宗教義及知識論義，識是污染的、虛假的經驗
主體，而智是清淨的、真實的超越主體。
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