求根號近似值的另一種方法(直式開根法)
轉至：http://blog.ljjh.tc.edu.tw/index.php?op=ViewArticle&articleId=5958&blogId=6及昌爸工作坊：http://www.mathland.idv.tw/cai/sqrt.html如果記得起來的話，比十分逼進法好用多了…
LG optimus LTE2 開箱
轉至：http://blog.xuite.net/ntalice/blog/63162865 一個人轉給我看，勾起我的心，不過我只能一直忍耐…
數學不只是計算，還要想想！ 〉「想想基地」要讓孩子穩健起
文◎古淑薰 圖◎資料室提供 「五天份的藥水有13格那麼多，那一天要喝幾格？」老師問。 「我知道怎麼算，13 5！」阿德興高采烈的說。 「可是13 5不能整除啊！」清文馬上提出疑惑。 「13 5=2…餘3，如果一天喝兩格的話，還會剩下3格藥水，怎麼辦呢？」老師在白板上寫出孩子們提出的算式，又繼續把問題拋給孩子。 「要喝完，每次我媽都會要我把藥水喝完。」阿德說。 「商到小數呀！」麗雯想到上次學的概念馬上回答說。 「『商到小數』怎麼除呢？3比5還小耶？」老師繼續問。 「畫個０就好」阿倫一邊說著，一邊跑上台把０畫在餘數3的旁邊。 「可是０是什麼意思？」阿德問。 「十位數的意思」建安忽然舉手說。 「你的意思是說把3變成30囉！可是明明是3，為什麼變成30？」老師幫忙建安把說法補充得更完整，又繼續追問。 「就是把每一格再細分…」、「對，把每一格分成10小格，就有30小格。」建安還沒說完，阿倫就搶著回答。 「有了30小格就可以繼續除了。所以13 5=2.6，一天要喝2.6格。」麗雯把算式完成，開心地做出了一個結論。 在大家七嘴八舌的通力合作下，所有的孩子對於大家一起找到了解決方法都感到十分滿意。在討論的過程裡，孩子們交流了不同的想法，相互補足彼此說法的不足，對「直式除法」以及「商到小數」的概念也有了更清楚、更完整的認識。 這個充滿活力與智慧對談的課堂，是在一個叫做「數學想想的基地」（簡稱『想想基地』）的地方，人本教育基金會正在實踐一個超乎想像的教學情境—透過師生共同對話、討論，讓孩子的「思考能力」自然發展。 充滿自然吸力的課堂 每週六、日，想想基地裡，一群中低年級的孩子們轟轟烈烈地各自討論數學。為什麼讓孩子參加這樣的課程呢？徐媽媽表示她是先參加了數學想想的座談會，很欣賞這種新的上課方式，就帶小一的女兒來試看看。第一次上課回家之後，女兒很開心地跟她描述上課的情形，還跟她說：「這裡好好玩，我下星期還要來。」 而邵媽媽則表示，小二的女兒是受到《數學想想》這套繪本般的教材所吸引而來上課。邵媽媽說：「學校課本，孩子除非要考試才會去翻閱。但她一看到數學想想課本就非常喜歡，愛不釋手。前幾天她還跑來跟我說：『媽媽你現在可不可以陪我看這本數學想想』。這讓我非常驚訝，這套教材好像有種魔力，就像故事書一樣，會讓孩子主動想要閱讀。」《數學想想》正是這個想想基地採用的教材。 從孩子的困惑著手，思考開始發生… 「想想基地是在彌補學校教學的不足。學校的數學課很強調計算過程，但我們更強調理解，我們從最根本的地方去歸納算法的意義，帶孩子去討論為什麼要這樣算。重點是，我們從孩子的困惑著手。」想想基地教學長賴友堂清楚地指出想想基地的定位與功能。 賴友堂解釋說，當小三小四的孩子開始接觸除法時，學校老師往往只跟孩子說「除法就是被除數除以除數」，對於到底什麼是「除以」卻沒有多加解釋。事實上，很多孩子對這兩個字是感到好奇的，也可能有困惑，因為在加法、減法和乘法裡面，都沒有使用這個「以」字，孩子會好奇這是不是有什麼特別的意思。「為了解決孩子的困惑，我們在想想課本裡面有非常多的設計，例如先透過除草的圖畫讓孩子知道『除』有『清除』、『除去』或是『拿走』的意思。用『以貌取人』、『委以重任』等成語，來跟孩子說明『以』就是『用』的意思；還讓孩子明白『6除以2』是一個倒裝句，因為他是『用2去清除6』的意思，也就是兩個兩個被清除，6就要被清除3次。」賴友堂強調，「當孩子搞清楚這件事情，心裡沒有疑惑了，才有辦法建立對除法的正確概念。」 另外在計算上，孩子常會忘記一些運算規則，例如要先乘除後加減、括號先算…等，爸媽常會認為是孩子粗心，但反覆提醒，孩子仍不時會忘記。對此，賴友堂卻表示，孩子並不全然是粗心，而是他們對這樣的規則並沒有深刻的體會，因為他們長期對運算的理解都是從左往右來算，他們不能理解為什麼這些規則卻是例外的。「要讓孩子突破這個慣性要給他們更深刻的理由。以理解取代提醒，才能真正提升計算能力。」賴友堂說。 賴友堂表示在想想基地裡面，他們會透過一些國語文句型來連結孩子對數學符號的想像，讓孩子瞭解這些規則的意義。例如，當他們要跟孩子說3-（2-1）跟3-2-1不一樣時，他們會先用「大貓吃了『小貓吃了一口』的罐頭」這樣一句話，吸引孩子討論的興趣，讓孩子說說這是什麼意思。當大家你一言、我一語的討論，孩子會逐漸釐清有無括號的差別，進而瞭解到這句話的意思不是「大貓吃了小貓」，也不是「大貓吃了罐頭」，而是大貓吃的罐頭是『小貓吃了一口』的那個罐頭。經過這樣的討論，許多孩子對括號的意思有了清楚的概念，忘記的比率立刻大幅降低。 帶入情境，引導思考…
陪孩子面對數學問題 〉消除您與孩子的數學恐懼症
(摘自人本教育札記202期) 整理◎盧貞穎（整述自《快樂新父母》有聲書、人本深耕講座演講） 圖◎資料室提供 您是否有過這樣的經驗：孩子來問您數學，您好心的想幫忙他，一來一往，不知不覺之間，您已經百般不耐，小孩也哭喪著臉？ 或者，孩子對數學束手無策，您看著成績為他擔憂不已，好想幫他想辦法。無奈，數學從小就是您的頭痛科目，加上工作勞累家事繁雜，您只得匆匆鼓勵孩子，或者幫他報名補習班、買參考書。反正，大家都說，數學就是要多算，算多就會了！ 思考過數學能力、觀摩了老師們的努力，相信身為家長的您，腦袋已經轉過一圈，對數學的防衛心軟化了些，甚或因為一些新的發現而喜悅感動。讓我們記著心中柔軟的感覺，從容的，陪孩子面對數學問題。 從同理孩子開始，而不是考核 首先要卸下的心防，就是源自關愛、擔心的考核，「看看對了幾題！」，「怎麼錯這麼多？」「你怎麼連這個都不會！」、「這邊不是教過了嗎？」這些質問，請先收著不要說。反之，您可以轉個念想，「為什麼孩子不會這個？有什麼原因嗎？」先去同理他們寫錯、不懂的挫折、困擾，告訴孩子，有錯誤和問題，都是幫助我們瞭解數學、打好數學底子的開始。 練習讓孩子當你的老師 有時候，大人總愛把自己知道的都掏出來，長篇大論的講一堆，小孩卻在一旁聽得霧煞煞。這樣直接灌輸的方法，其實很難幫助小孩解決心中的疑惑。在這裡提供您另一個可能，不如來練習，請孩子當您的老師。 小孩來問問題，您先認真的看過題目，如果是計算題或填充題，您可以試著可以問他：「這一題是要作什麼的呀？」，如果是應用題，您可以問：「題目的意思是什麼呢？」 記得態度要溫和虛心，雖然您也許一看就通，但還是要把速度放慢，避免質問的口氣。這個態度是十分關鍵的，要讓小孩願意全心全意思索，把所學的都發揮出來的要點，就在於身旁這個聰慧誠懇的大人身上。 通常，孩子作不出來，可能是知道的不夠清楚，有哪個概念轉不過來，我們需要有機會讓他熱心的聊聊他知道的東西。在過程中，也需要追問一些細節，像是名詞、符號的意思、步驟是什麼樣子等等，有的時候，孩子真的無從下手，您也可以當個學生問他：「那你覺得是多少？」，鼓勵孩子大膽猜想，與他進行「猜想與反駁」的思考遊戲。 例如說，小學一年級的題目：「十三條魚放在魚簍裡，跳走四條，請問簍子裡還剩幾條魚？」這一題對大人來說很簡單，可是，如果孩子問爸媽，這題要用加還是用減的？要怎麼回答呢？ 和孩子一起猜想，跟孩子說，先不要想，是加還是減，我們先來猜猜看，簍子裡面還剩幾條魚？如果孩子還不會猜，爸媽先幫他猜。比方說，爸媽可以先猜剩下一條，這時孩子會憑感覺想「好像太少了點」；之後，爸媽可以再猜問孩子「剩下十三條嗎？」孩子心裡就會想「這樣好像又太多」。在過程中，爸媽和孩子都可以再追問對方為什麼覺得多或少，例如剩一條之所以少，是因為那跟簍子裡原本十三條的數量差距太大；剩十三條之所以太多，是因為已經跳走了四條，怎麼會還是十三條呢？經過這樣一來一往的猜想和反駁，孩子對於題目裡的「數」有了更多感覺，也更能去想，在什麼狀況下要用減法，以及加法又是什麼。 這個例子的猜想，是根據對魚簍裡魚的情境的瞭解，如果是比較高深的數學，也還需要根據許多曾學過的基礎和概念。在這樣的過程中，我們可以發現，孩子有哪些觀念的不足，進而提醒、幫助他。有時候，孩子說著說著，理解了題意，連結到了學過的觀念，作法也就跑出來了。 過程不用太長，大小平安最重要 （一）約定合適的時間，二十分鐘就足夠 不管是孩子來問問題，或者是您主動想要幫忙孩子，記得約定一個雙方都合適的時間，這也許需要每天磨合一下，最終是希望雙方都在這段時間裡，有寬裕專注的心情。 此外，孩子的注意力有限，每次的時間不需要太長，大約二十分鐘左右，其實就足夠，把時間還給孩子，再去思索其他題目，或者處理別的功課。 （二）不堅持一定要馬上懂，慢慢培養研究精神 有的時候，跟孩子說明了老半天，孩子可能還是有某個地方不通，充滿疑惑。眼看二十分鐘就快到了，孩子也漸漸失去耐性。您也許會開始著急，想這孩子怎麼反應那麼慢，都講不懂呢？讓我們來說一個愛因斯坦的故事。 有一位年輕的物理學家，去問愛因斯坦問題，他緊張的做好準備，見到景仰的愛因斯坦，就滔滔不絕的開始說明他的問題，沒想到愛因斯坦在一旁一直打斷他，請他說慢一點，因為思考跟不上他說話的速度。這位年輕的物理學家才發現，原來偉大的科學家，思考反應那麼慢呀。而，也許就是因為反應比較慢，思考比較深，才能研究出別人看不見的真理。 快、慢是見仁見智的，尤其在思考與反應的時候，孩子沒有馬上抓到要點，表現出「懂」的樣子，很可能是他在腦袋瓜裡檢視各種可能的思緒，或透過自己的方式找尋概念間的連結，這時候您要他快點表現出懂的樣子，他也許就把思緒停下來，裝著懂了，最後還可能相信自己已經懂了呢！如果孩子能夠遲疑的說：好像不是很懂耶？請記得鼓勵他的執著和坦誠。 不能馬上懂，其實不僅是家長，連孩子都會心急煩躁，因為作業那麼多，自由休息的時間一點一點變少，壓力也是很大的。在這樣的情況下，我們主張不要一次就把孩子的胃口搞壞，而要細水長流的，一次學一點，一次累積一點就好，重要的，還是長久思考追究一個問題，培養研究的精神，這是急不來的。 （三）準備一個快樂的結局 二十分鐘很快就過去了，不管在過程中，有什麼不愉快、不開心，作爸爸媽媽，還是要趕緊動腦袋，讓這一個難得的親子時光，有一個快樂的結局。聰明的您可能已經開始自問，什麼是快樂的結局呢？題目都做對了、都懂了，可能是個完滿的好結局，但是，一個快樂的結局，卻不必然要如此。 在過程中，您就可以開始觀察孩子的思緒，幫忙找他的優點和進步的地方，準備一些好話，在結束的時候告訴他。例如說：「雖然現在你還不是很懂，但是你蠻會問問題的！這是很重要的優點。」「你很有腦筋，知道要慢慢想。」或者針對過程的發現，和孩子互相鼓勵：「有多懂一些些了！」也可以指出一些具體的事件，誠懇的讚美他。 如果孩子還是會懊惱，您可以向他解釋，學習數學是要學習解決問題的，累積解決問題的經驗，就像剛剛的討論過程，多思考了一點，離解決問題的目標越近，這是比做對答案還要重要的。 孩子願意來問問題、用心討論問題，其實是一項了不起的成就；而願意陪孩子思考，一起討論的爸媽，也是成就這段時間的功臣。讓兩人都帶著快樂的心情，大小平安的結束這短暫的時間，並且，願意細水長流的期待下一次的討論。…
理解取代解題 數學不可怕
本文摘自http://publish.lihpao.com/Education/2006/12/11/0101/index.html 【記者曾美惠台北報導】數學是很多人的夢魘，怎麼也學不會、算不出來。老師總說學數學不二法門，就是多運算，人本教育基金會執行董事、台大數學系退休教授史英表示，多運算雖能增加能力，卻不能提升程度，這是台灣數學教育長期的問題，也是數學教育最需打破的迷思。 人本教育基金會昨天舉辦演講會，執行董事史英針對目前學校數學教學的問題提出看法，並介紹人本教育基金會研發的「數學想想」課程及教材，現場吸引一百多位民眾到場聆聽。 教育改革超過12年，產生無數恐慌的家長，被試驗的學生及焦慮的教師，教改不斷受到各界檢討與批評，希望回到聯考時代的聲音也不絕於耳。史英表示，各界從政策、制度、教材檢討教育改革的缺失，但卻未曾想過，教師教法也是教學改革的重要一環，也是教改能否成功的重點。 小時候學數學只要遇到不會的題目，媽媽會說：「你再想想。」老師也說：「你再想想。」或是「你覺得要先用加法還是減法？」而如何提升數學能力，老師會回答：「多算多練習，自然就會了。」史英說，台灣是一個作題目的國家，直到現在，老師的教法從來沒有改變，遇到問題不是引導學生，而是問學生如何解題，或是要求學生多作題目，但學生多作題目，就多一次挫折，因為「程度」不好，觀念不懂，多練習只是發現自己的不足，並不會真的懂。 什麼是「程度」？不是知道題目出自哪本書的第幾頁，或是連題目的答案都會背，就表示程度很高。真正有程度者，是分析問題並找到方法。史英舉例，有一位物理學者向愛因斯坦問問題，但愛因斯坦不斷打斷他，請他將問題說得更仔細，那位物理學家因此認為愛因斯坦聽不懂別人的問題，能力大有問題。 史英說，愛因斯坦才是真正有程度者，因為有程度者，會完全感受他人的問題，分析問題找到解決的方法，而非在腦袋裡的資料庫找答案，這種有程度的作法，就是老師應該追求的能力。 「程度」能解決數學問題，培養程度，首先就是對數學有感覺與感情。一個人對討厭的事情不會有感情，例如學生討厭數學，就不會對數學有感情，要提升數學程度，首先就是要對數學有興趣，而數學要有趣，教材就必須友善、且貼近小孩感受。 史英認為，教材過於困難，學生不易接近，無法引起學習興趣，編寫教材者，也沒顧及使用者，加上老師無法以學生的語言教學，導致學生提不起興趣，造成學生永遠不喜歡數學的惡性循環。 史英認為，要檢討教改，應該加入教師教學因素，不是一味批評，而是思考，不要想回到過去聯考的惡夢，而是在教改的基礎上，思考多元的方式與教法，才能不斷進步。
基測數學考什麼﹖〉瞭解了，就不用焦慮
(摘自人本教育札記202期) 口述◎楊家齊／台北市龍門國中老師 採訪整理◎盧貞穎 圖◎資料室提供 說到數學考試，許多大人都曾有過頭痛的經驗：考試時間老是不夠用？算式複雜數字艱澀？考試時還要小心題目裡的陷阱？得做一大堆練習題目才能考出好成績？這些刻板印象，總是讓家長對於孩子的數學成績容易感到焦慮，更別說，是在陪孩子面對未來升學的關鍵測驗—基本學力測驗。 「其實家長們的許多擔心，是來自於對基測考題的不熟悉、不瞭解。」台北市龍門國中數學老師楊家齊，三月時才到新竹參加一場基測的座談會，一開場，他就先帶著家長一起考試，「我發了幾個題目給家長做做看，其實大家做得還挺開心的！家長對題目有了感覺，也會發現，其實沒有那麼恐怖嘛！」 本文專訪楊家齊老師，一起來看看，他從基測數學考題裡，看到了哪些重要觀念、家長又可以如何看待。 時間一定夠，觀念最重要 要先破除，考試時間一定不夠的迷思。 很多人會以為，考試就是要拼速度，可是基測數學裡面，共有三十五題的四選一單選題，學生有七十分鐘可以作答。那一題就可以用兩分鐘來解囉？ 其實不只有兩分鐘！因為考題前段，會有比較簡單的題目，很快就可以反應出來了，真正的難題，至少可以有五分鐘的思考時間。而，基測的數學考試，並不是一種考運算速度的東西，如果五分鐘想不出來，那表示這邊你一定概念有些不通，而不是算得不夠快。 所以，從看到題目，到聯想反應，這樣的反應時間比運算所花的時間，還來得重要。因此，準備基測的重點在瞭解基本概念。 試題的幾個特色 （一）著眼國中階段的基本概念，不考繁複的計算或小陷阱 學校或參考書裡的考題，經常會有一些小小的陷阱，可是基測的題目不會這樣子。基測要考的是能力指標裡的能力，照理說，學會那樣的能力，就要能答得出來，不大會再多設陷阱。此外，現在的基測考題中，幾乎沒有繁複的運算問題，而且因為題目是選擇題，就算算錯答案，還可以在選項裡面找解答。從前，我們經常會覺得，算錯可能是因為粗心或計算能力不好，現在來看，問題反而是在於：孩子有沒有真正理解題目要的是什麼？這也連結到基測試題的另一個特色：說明詳盡。 （二）說明詳盡清楚，仔細閱讀就能懂題目 綜觀這幾年的基測數學試題，題目的說明都很詳細，目的是盡量讓題目沒有城鄉差距，讓所有的孩子都沒有進入的障礙。你只要跟著指示去做，就不會有問題，裡頭就會看到你理解和推理的能力。因為說明清楚，現在的基測考題經常是比較長的。孩子在這裡經常有的問題，則可能是看不清楚、沒耐心看完、也可能會有看不懂的狀況出現，這當然和數學知識有些關係，但是，解題時如果膽子大一些、想像多一點，也會對理解題目有所幫助。 練膽量和想像力很重要 觀察往年的基測考題，除了對於基本能力和數學知識的檢測之外，家齊老師也發現，它隱約的也在測驗學生的兩個能力：嘗試的膽量和想像的能力。 （一）嘗試的膽量 題目說明了一大堆，看起來有些陌生，不要怕，只要你敢去理解、試著用自己的話去翻譯他、試著去做做看，其實是不難的。例如九十四年的基測考題第二十八題： 我們邊看邊翻譯，題目說「任選兩件一起購買」，就是「一次要買兩件」；「計價方式為，將選取的兩件物品價格合計後，以十元為單位，用四捨五入取一數值，此數值即為售價」，就是「一次選兩件買，價錢就是兩個價格相加，然後以十為單位四捨五入」。接著「小明將它們做適當的組合後，可用最低價買六件物品，請問最低價為何」，就是「小明把兩件兩件分組，花最少的錢買到，他花了多少錢？」。翻譯到後面，我就去做做看，兩件東西的錢加在一起怎麼樣四捨五入，想想看這些東西加在一起，為什麼會有最低價？做了一組就會發現，兩個價錢加起來底數是四的話，捨掉四我就賺到了四塊！底數如果大於四，就反而要進位，這樣就會多花錢！只要配得好，就可以省很多錢！「所以這一題要問我的就是，怎麼配可以省最多錢！」 知道了題目要什麼，我們就可以先去湊底數為四的價格。觀察這六件物品，首先，我們可以發現到卡式音樂帶80元，若搭配襪子24元，就是104元，四捨五入捨去4，只要花100元；然後再從剩下四件物品挑挑看，錄影帶99元配鮭魚55元，總共是154元，同樣四捨五入捨去4後只要150元；剩下大白菜66元配葡萄47元，兩者加起來要113元，底數是3，也可以捨去，只要110元。經過這樣的想像與嘗試，就可以發現最低價是100+150+110=360（元）。 這題比較困難的地方就是，題目太長，而且需要一個策略，我覺得題目如果懂了，去做做看，湊了一組就會開始有感覺，解題的策略自然而然就會出來了。寫基測的題目，膽子夠大是一個很重要的心理特質。要敢去理解，去嘗試、揣測它的意思，不需要像小媳婦一樣，以為數學是要來欺負你的。 （二）想像情境的能力 例如九十四年第二次基測的第二十四題： 這一題，訓練精良的學生就會先代X再說，但是，沒有完全通的同學，可能就會代四個代數：W、X、Y、Z，這樣就算不出來了。使用X是數學上代數的作法。膽子比較大的學生，可能就會發展出另一種方法： 因為四個人要量體重，大華跟媽媽一起量、爸爸跟小明一起量。現在知道，大華比小明重三公斤，所以大華比較胖一點，胖三公斤。 第一個想像：母親跟大華加起來110公斤，父親跟小明是120公斤，因為大華比小明胖，所以母親一定很瘦。母親跟大華一起重110公斤，大華又比小明重3公斤，假設母親跟小明一起量的話，重量就是110-3=107公斤。由於父親和小明共120公斤，120-107=13，所以父親比母親重13公斤。 想像四個人量體重，可能連動筆代X都不需要。我們也可以看看九十三年的基測第三十二題：…
關於九九乘法表的一些想法
(摘自人本教育札記202期) 口述◎史英 整理◎王筱涵 圖◎資料室提供 在國小新教材加入建構數學之後，「九九乘法表」背與不背的問題就開始被提出來討論。當教育部又決定要廢除獨尊建構數學之後，現在小學二年級的學生恢復要背「九九乘法表」。到底建構數學為什麼不讓孩子背「九九乘法表」？開始背「九九乘法表」之後會不會又回到以前的「填鴨式」教育？ 以下，我們專訪曾經編過牛頓版數學教科書，也曾被國立編譯館的建構數學專家將所編教科書打回票（只因教小孩背乘法表）的史英教授，談談他對於「九九乘法表」的一些想法。 「建構數學」主張不要背乘法表？ 我是主張背九九乘法表的，因為在應用的時候，讓速度增快許多，像兩位乘兩位或是做除法的時候，如果沒有背起來，每次都要從頭推算花的時間太辛苦。 但是，在八十二年的課程綱要裡面有特別提到，因為過去的教學經驗，老師常常利用一個暑假或是某一段時間就要小孩把九九乘法表全部背起來，而督促小孩背的方法跟過程有點慘烈。例如，老師在前一星期才教九九乘法表，隔週升旗回來，就要小朋友進教室的時候一個一個背，背不出來的就不准進教室。事實上，有一些孩子在這麼短的過程裡面是沒辦法背起來的。所以當時主張建構數學的專家，他們認為：現在這個時代計算應該不是那麼重要，因為都有計算機，要算一個數字已經很少人真正動筆去算了，像是到菜市場買菜或是到超級市場買東西，沒有人會動一枝筆在計算。所以，學數學的目的應該跟過去不同，不應該只是為了計算。當計算的需求不再那麼重要，那算的快跟慢也變得不重要。 實際上，又有相當比例的小孩無法在很短時間內背好九九乘法表，所以他們就主張不要讓孩子去背誦，只要有九九乘法表讓小孩查，需要用的時候，如果記不得就去查表。所以，推動建構數學的專家們會主張不背九九乘法表的理由，一是照顧小孩現實學習的困難以及減輕學校給的學習壓力；另一個是社會進步了，計算能力沒有像以前想像的那麼重要。 為什麼有些小孩背不起來？ 孩子背不起來的因素很多，我們應該要了解每個小孩的身心發展過程本來就有所不同。 回想我的小時候，在鄉下的學校，大部分的同學是農家子弟，那是赤腳上學的年代，絕大部分的孩子，他們的生活形態是比較動態的。相對比較靜態的就是小孩坐在那邊看故事書、看電視、聽收音機、跟兄弟姊妹聊天、丟沙包等等。那時候靜態的活動比較少，動態活動多，所以孩子不習慣靜下心來記憶，而背誦就是要專心及專注，要靜下心來才背的起來。如果孩子整天跑來跑去，心慌慌的，當然會背不起來。 當時的生活環境是那樣，而現在照理來說小孩子應該比較靜，但事實上不然。因為大部分小孩子的本性，是不大願意靜下來的，這同時也是孩子生命力跟創造力的一個泉源。傳統教育比較鼓勵及肯定孩子坐著寫字、唸書，當個靜態活動的學生，會受到比較高的評價；跑來跑去，上山下海，劈天弄井的孩子，就不被肯定，甚至被否定。但是，為什麼有些小孩會背不起來，因為這是孩子的天性。他不是永遠都背不起來，只是要孩子在一兩個月內背起來，本來就是有一定的困難度。在我看來，現代跟以前也差不了太多，就是會有一些孩子不容易背起來。 背不起來的孩子，該怎麼辦？ 對於背不起來的孩子，實是我真正憂慮的地方。 因為從前背乘法表是一個慘烈的過程，而真正慘烈的不是背的過程而是背的結果。比如說，在小學二年級，一個月的時間要把乘法表背起來，而通常這一個月能不能背好乘法表，會決定這小孩一輩子學業成就的表現，這其實是個生死的判決。因為如果孩子在老師限定的一個月內背不起來的話，那接下來馬上要學「兩位乘一位」，之後就要學「兩位乘兩位」，然後學「三位乘一位、三位乘兩位」，然後就是「除法」。這是環環相扣的過程，沒有任何喘息的機會。所以，一開始如果孩子背不下來或是背不熟練，後面那一串學習就會變得很困難。大家可以試想：學「個位乘個位」時，如果你還要一個一個推算兩數相乘的答案是多少，還在思索這件事情，那「兩位乘兩位」的直式乘法你怎麼學得下去？再到後面的「除法」就更不可能了，像是54除以7，當7乘8背不起來，根本無法一時找出54除以7等於8的答案。 所以如果九九乘法表背不起來，當孩子第一次倒下去以後，以後就都全倒了，這個孩子一輩子學業的表現就被判了死刑。我回想起很多小學時候的孩子，都是在這個過程裡，變成學校裡的失敗者。雖然這不表示這個人一定是一個失敗者，不過一個孩子在人生的這麼早期就被判定是一個失敗者，絕對不是一件幸福的事情。 那這些背不起來的小孩該怎麼辦呢？我看到新聞報導裡提到，現在新的課程會強調，雖然要小孩背，但沒有要小孩在很短的時間之內背下來。他們給小孩一又三分之一的學期來背這個乘法表，他們認為這個時間夠長了。 但是我認為時間可以再長一點，因為孩子間有非常大的個別差異，有些小孩甚至需要二個到四個學期的時間來背。如果從小二到小四可以把九九乘法表背好，其實也是一件很好的事情。如果要求在一個學期或是一又三分之一的學期裡背起來，那這一又三分之一學期的根據是什麼？為什麼不是一又二分之一？當然任何一個課程設計總有一個時程，但必須是要讓大家了解，現在設計一又三分之一的學期來背好九九乘法表只是一個設計，不是上帝規定非得在一又三分之一的學期非背起來不可。 總而言之，孩子最後的命運，是落在父母跟老師的手裡。家長跟老師有沒有寬容的心，能夠尊重小孩的個別差異，多給孩子一些空間，雖然說是一又三分之一個學期，但寧可給他們二到三個學期去背好九九乘法表，也沒有什麼大不了。 從乘法表中思考 而數學的學習，最重要的是注重思考。 九九乘法表裡面有很多可以思考的，像是小孩子一開始背，或是背了一陣子又忘記的時候，孩子通常都是從頭往下推算。比如說，7的乘法比較難背，你若問孩子7×8多少？他就會從七一七、七二十四、七三二十一……一直推下去，每推一次就加個7這樣來推算，然後把56的答案報出來。但是這樣得不到任何誇獎與鼓勵，還會得到白眼與申斥，責怪他說幹嘛從頭往下推。但如果不從頭往下推，孩子也別無他法，因為他就是不知道7×8是多少。所以，我們可以從這裡引導孩子思考，比如說，第一個最簡單的，你可以跟孩子說試試看不要從7×1開始，而是從「三七二十一」—個我們常講的俗語「管他三七二十一」開始推算，然後四七、五七到八七，這樣就比從七一開始推要來的容易。 第二步，可以鼓勵孩子進一步想：三七二十一，六七就是四十二，也就是知道了3個7是21，馬上就可以推到兩個3個7就是有6個7所以是42。但推演到這裡需要一點思考，因為孩子必須要知道3×7與6×7的原始意義，是3個7跟6個7的和。再從3×7推到6×7，再推七七四十九，七八五十六，就會比較快了。 所以即使是背九九乘法表，也該鼓勵小孩子在乘法表這些記憶的資訊裡面，找尋到可以思索的一些線索。一方面可以增加學習的興趣，二方面也真的有助於他們對乘法表的記憶。 教育就是要以孩子為中心 成人為孩子設計課程、編寫教材，家長督促孩子用功，都是大人理所當然的責任。我從來沒有主張，父母跟老師都不要管小孩，但是我希望大人能提醒小孩、協助小孩，而不是壓迫或剝削他，更不能是羞辱或打壓他。將這個基本的概念放在心裡面，那無論課程是怎麼變，建構或不建構，背或不背，其實就沒有那麼的重要了。現在如果有一個比較特殊的小孩，花了兩年的時間都背不好九九乘法表，我們還是模仿原來建構數學的方法，給孩子發一張乘法表，告訴他需要用到乘法表的時候就去查表，讓他可以繼續去學習兩位的乘法、大數字的乘法、除法等等。不要因為孩子背不好乘法表而阻礙到後面的學習，這就是建構數學的一個貢獻。而且更重要的是，教育就是要以孩子為中心，因此家長的心胸要能夠放寬，盡量提供小孩學習的多元管道與方式，那就是下一代幸福的保障。 ....................................................................................................................................................................... 編按：整述自教育廣播電台「教育新航線」節目